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By Otto Forster

Inhalt: Vollst?ndige Induktion - Die K?rperaxiome - Anordnungsaxiome - Folgen, Grenzwerte - Das Vollst?ndigkeitsaxiom - Quadratwurzeln - Konvergenzkriterien f?r Reihen - Die Exponentialreihe - Punktmengen - Funktionen, Stetigkeit - S?tze ?ber stetige Funktionen -Logarithmus und allgemeine Potenz - Die Exponentialfunktion im Komplexen - Trigonometrische Funktionen - Differentiation - Loka le severe. Mittelwertsatz. Konvexit?t - Numerische L?sung von Gl eichungen - Das Riemannsche essential - Integration und Differenti ation - Uneigentliche Integrale. Die Gamma-Funktion - Gleichm??ig e Konvergenz von Funktionenfolgen - Taylor-Reihen - Fourier-Reihe n.

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Satz 4 (Bolzano·Weierstraß). Jede beschränkte Folge (an) reeller Zahlen besitzt eine konvergente Teil[olge. Beweis. a) Da die Folge (an) beschränkt ist, gibt es Zahlen A, BE IR mit A ~ an ~ B ftir alle nEIN. Wir betrachten das Intervall [A, B] := {x E IR: A ~ x ~ B} und konstruieren durch vollständige Induktion eine Folge von Intervallen [A k , Bk ], kEIN, mit folgenden Eigenschaften: i) In [Ak , Bk] liegen unendlich viele Glieder der Folge (an), ii) [A k , Bk] C [Ak - I , Bk- d, iii) Bk - Ak = 2- k (B - A).

N! L.. d. Corollar a) Für alle x E IR gilt exp(x) > O. b) Für alle x E IR gilt exp(-x) = (exp(x»-l. c) Für jede ganze Zahl n ist exp(n) = en . Beweis Zu b). Nach der Funktionalgleichung ist exp(x) exp( -x) = exp(x - x) = exp(O) = 1. Daraus folgt insbesondere exp(x) i- 0 und 1 exp( -x) = --(-) . exp x 1 ß! ( x +y )n . so § 8 Die Exponentialreihe Zu a). Für alle x;:: 0 ist x2 exp(x) = 1 + x + 2 + ... ;:: 1> O. Falls x < 0, ist -x > 0, also exp( -x) > 0 und exp(x) = Zu 1 () exp -x > O. cl. Wir zeigen zunächst mittels vollständiger Induktion, daß für alle nEIN gilt exp(n) = en .

Mithilfe der Exponentialreihe definiert man die berühmte Eulersehe Zahl e: e:=exp(l)= f +. n=O n. Satz 2 (Abschätzung des Restglieds). Es gilt N n exp(x) = ~ " ~ n. 2. Sei (an)n ~ Man zeige: i) 1 45 eine Folge reeller Zahlen mit lan I :::; M Hir alle n ~ l. Für jedes x E IR mit lxi< 1 konvergiert die Reihe f(x) = L anxn . 3. Sei ~ an eine konvergente, aber nicht absolut konvergente Reihe reeller n=O Zahlen. (n) gibt, die gegen c konvergiert. § 8. Die Exponentialreihe Wir behandeln jetzt die Exponentialreihe, die neben der geometrischen Reihe die wichtigste Reihe in der Analysis ist.

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